リーマン・ジーゲルのシータ関数

リーマン・ジーゲルのシータ関数 (英:Riemann Siegel Theta function) とは、数学におけるハーディゼータ関数の定義式に現れる関数である。この関数はガンマ関数を用いて次のようにあらわせる。

$\theta (t)=\Im \log \Gamma \left({\frac {1}{4}}+{\frac {it}{2}}\right)-{\frac {1}{2}}t\log \pi$

である。

また、次のように変形できる。

$\theta (t)=\arg {\left(\Gamma \left({\frac {1}{4}}+{\frac {it}{2}}\right)\right)}-{\frac {1}{2}}t\log \pi$

漸近展開

$\theta (t)$の漸近展開は次のようになる。

$\theta (t)\sim {\frac {t}{2}}\log {\frac {t}{2\pi }}-{\frac {t}{2}}-{\frac {\pi }{8}}+{\frac {1}{48t}}+{\frac {7}{5760t^{3}}}+{\frac {31}{80640t^{5}}}+...$

ただし、この漸近展開は収束しない。

参考文献

• リーマンゼータ関数の零点を手計算で求めてみた - mattyuuのノートブック
• ジーゲルのZ関数を数値計算する - tsujimotterのノートブック
• Riemann-Siegel Functions -- from Wolfram MathWorld
• http://oeis.org/A036282
• http://oeis.org/A114721

関連項目

• ベルンハルト・リーマン

• ガンマ関数
• リーマンゼータ関数
• ハーディゼータ関数
• リーマン・ジーゲルの公式

外部リンク

• Weisstein, Eric W. "Riemann-Siegel Functions". mathworld.wolfram.com (英語).
• Wolfram Research – Riemann-Siegel Theta function (includes function plotting and evaluation)